Giriş6 dk

Fonksiyon ve grafik sezgisi

Önkoşul:Özdeğer ve özvektör (PCA'ya hazırlık)

Kanca

Bir otomat makinesine 3 lira atarsan, HER SEFERİNDE aynı ürünü mü alırsın? Evet — ve işte bir FONKSİYON, TAM OLARAK böyle çalışır.

Sezgi

Bir fonksiyon, bir GİRDİ alıp bir ÇIKTI üreten bir MAKİNEDİR — aynı girdi, HER ZAMAN aynı çıktıyı verir. Fonksiyonun GRAFİĞİ ise, TÜM (girdi, çıktı) çiftlerinin bir RESMİDİR.

Mekanizma

$f(x) = x^2$ fonksiyonunu bir GİRDİ-ÇIKTI makinesi olarak deneyelim:

Fonksiyon = girdi-çıktı makinesi

KodÇıktı

# Bir FONKSİYON, bir GİRDİ alıp bir ÇIKTI üreten bir MAKİNEDİR -- ne daha
# karmaşık, ne daha az. f(x) = x^2 fonksiyonunu deneyelim:
def f(x):
    return x ** 2

girdiler = [-2, -1, 0, 1, 2, 3]
print("Girdi (x)  ->  Çıktı (f(x) = x^2)")
for x in girdiler:
    print(f"  {x:3d}       ->  {f(x)}")

print("\nHER girdi için TEK bir çıktı üretiliyor -- bu, bir fonksiyonun TANIMIDIR.")
print("f(3) HER ZAMAN 9 verir, başka BİR ŞEY değil.")

Girdi (x)  ->  Çıktı (f(x) = x^2)
   -2       ->  4
   -1       ->  1
    0       ->  0
    1       ->  1
    2       ->  4
    3       ->  9

HER girdi için TEK bir çıktı üretiliyor -- bu, bir fonksiyonun TANIMIDIR.
f(3) HER ZAMAN 9 verir, başka BİR ŞEY değil.

Şimdi bu fonksiyonun GRAFİĞİNİ çizelim:

Grafik = tüm (x, f(x)) çiftlerinin resmi

KodÇıktı

# Bir fonksiyonun GRAFİĞİ, TÜM (x, f(x)) çiftlerinin bir RESMİDİR.
x_degerleri = np.linspace(-3, 3, 100)
y_degerleri = f(x_degerleri)

print(f"\n{len(x_degerleri)} tane x değeri için f(x) hesaplandı.")
print(f"x=-3 -> f(x)={f(-3.0)}, x=0 -> f(x)={f(0.0)}, x=3 -> f(x)={f(3.0)}")
print("Bu (x, f(x)) çiftlerini ÇİZİNCE, fonksiyonun GRAFİĞİ ortaya çıkıyor --")
print("bir U şekli (parabol), çünkü x^2 HER ZAMAN pozitif ya da sıfır.")


100 tane x değeri için f(x) hesaplandı.
x=-3 -> f(x)=9.0, x=0 -> f(x)=0.0, x=3 -> f(x)=9.0
Bu (x, f(x)) çiftlerini ÇİZİNCE, fonksiyonun GRAFİĞİ ortaya çıkıyor --
bir U şekli (parabol), çünkü x^2 HER ZAMAN pozitif ya da sıfır.

Matematik

Ortalama değişim hızı

\text{ortalama değişim hızı} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}

Bu, 1. dersteki araba hızı formülüyle ( $\frac{\text{mesafe}}{\text{zaman}}$ ) TAM OLARAK AYNI yapıdadır — burada “mesafe” $f(x)$ ‘in değişimi, “zaman” ise $x$ ‘in değişimidir.

Kod

İki nokta arasındaki ortalama değişim hızı

KodÇıktı

# İki nokta arasındaki ORTALAMA değişim hızı, "ne kadar dikey / ne kadar
# yatay" gittiğinin ORANIDIR -- 1. dersteki araba hızı örneğiyle AYNI fikir.
x1, x2 = 1, 3
degisim_hizi = (f(x2) - f(x1)) / (x2 - x1)

print(f"\nx=1'den x=3'e giderken:")
print(f"  f(1) = {f(1)}, f(3) = {f(3)}")
print(f"  Ortalama değişim hızı = (f(3) - f(1)) / (3 - 1) = ({f(3)} - {f(1)}) / {x2-x1} = {degisim_hizi}")
print("\nBu, İKİ nokta arasındaki 'ortalama' hızdır -- ama fonksiyon HER noktada")
print("FARKLI hızla değişiyor (parabol dik ya da yatay olabilir). BİR noktadaki")
print("ANLIK değişim hızını bulmak, 9. dersin (türev) konusu.")


x=1'den x=3'e giderken:
  f(1) = 1, f(3) = 9
  Ortalama değişim hızı = (f(3) - f(1)) / (3 - 1) = (9 - 1) / 2 = 4.0

Bu, İKİ nokta arasındaki 'ortalama' hızdır -- ama fonksiyon HER noktada
FARKLI hızla değişiyor (parabol dik ya da yatay olabilir). BİR noktadaki
ANLIK değişim hızını bulmak, 9. dersin (türev) konusu.

f(x)=x karesi fonksiyonunun parabol grafiği, x=1 ve x=3 noktaları arasındaki kesen doğrusuyla birlikte. — f(x)=x² parabolü ve x=1 ile x=3 arasındaki ORTALAMA değişim hızı (kesen doğrunun eğimi): 4.0.

Nerede işe yarar

Fonksiyon ve grafik sezgisi, ilerideki İKİ derste HEMEN kullanılacak:

9. derste (türev), “bir noktadaki ANLIK değişim hızı” sorusunu cevaplayacağız — bu dersteki “ortalama” hızın, İKİ nokta birbirine SONSUZ yaklaştıkça nasıl “anlık” hıza dönüştüğünü göreceğiz.
DL kategorilerinde, bir modelin “kayıp fonksiyonu” (loss function), TAM OLARAK bu dersteki gibi bir girdi-çıktı makinesidir — girdi model parametreleri, çıktı bir HATA sayısıdır.

Bu 2 hatayı yaparsın:

Fonksiyonu “karmaşık bir formül” sanmak — HAYIR, SADECE her girdiye TEK bir çıktı atayan bir KURALDIR.
Ortalama değişim hızını “fonksiyonun HER YERDEKİ hızı” sanmak — HAYIR, bu SADECE İKİ nokta ARASINDAKİ ortalamadır; fonksiyon yol boyunca FARKLI hızlarda değişebilir.

Kendini test et

1. Notebook'ta f(3) HER ZAMAN 9 veriyor, başka HİÇBİR ŞEY değil. Bu, bir fonksiyonun HANGİ özelliğini gösteriyor?

Fonksiyonların rastgele olduğunu
Bir fonksiyonun, AYNI girdi için HER ZAMAN AYNI çıktıyı ürettiğini -- bu, bir fonksiyonun TANIMININ TEMEL parçasıdır (doğru cevap)
Sadece f(3)ün özel olduğunu
Fonksiyonların sadece sayılarla çalıştığını

Neden: fonksiyon-bir-makine bloğunda bu AÇIKÇA belirtiliyor: 'HER girdi için TEK bir çıktı üretiliyor -- bu, bir fonksiyonun TANIMIDIR'.

2. degisim-hizina-onizleme bloğunda x=1'den x=3'e giderken ortalama değişim hızı 4.0 çıkıyor. Bu, fonksiyonun HER noktada 4.0 hızla değiştiği anlamına mı gelir?

Evet, fonksiyon her yerde aynı hızla değişir
HAYIR -- bu SADECE x=1 ile x=3 arasındaki ORTALAMA hızdır; parabol şeklindeki bir fonksiyon, yol boyunca FARKLI (bazen daha dik, bazen daha yatay) hızlarda değişir (doğru cevap)
Bu bir hesaplama hatası
Sadece x=1de geçerlidir

Neden: notebook çıktısında bu AÇIKÇA belirtiliyor: 'Bu, İKİ nokta arasındaki ortalama hızdır -- ama fonksiyon HER noktada FARKLI hızla değişiyor'.

3. Bir sinir ağının 'kayıp fonksiyonu' (loss function), bu dersteki fonksiyon fikriyle NASIL ilişkilidir?

Hiçbir ilişkisi yok, tamamen farklı bir kavram
Kayıp fonksiyonu da bir girdi-çıktı MAKİNESİDİR -- girdi olarak model parametrelerini alır, çıktı olarak bir HATA sayısı üretir; TAM OLARAK bu dersteki f(x)=x² gibi (doğru cevap)
Kayıp fonksiyonunun grafiği yoktur
Kayıp fonksiyonu sadece sıfır değeri döndürür

Neden: kullanım bölümünde bu AÇIKÇA bağlanıyor: kayıp fonksiyonu, bu dersteki gibi bir girdi-çıktı makinesidir.

Özet

Bir fonksiyon, bir girdi alıp TEK bir çıktı üreten bir makinedir -- aynı girdi HER ZAMAN aynı çıktıyı verir.
Bir fonksiyonun grafiği, TÜM (girdi, çıktı) çiftlerinin bir resmidir.
İki nokta arasındaki ORTALAMA değişim hızı, (çıktı farkı) / (girdi farkı) olarak hesaplanır.
Bu ortalama hız, fonksiyonun HER noktasındaki hızı YANSITMAZ -- sadece o iki nokta arasındaki ortalamadır.
Bir noktadaki ANLIK değişim hızını bulmak, 9. dersin (türev) konusudur.

Sonraki adım: Türev: değişim hızı →