Giriş6 dk

Fonksiyon ve grafik sezgisi

Önkoşul:Özdeğer ve özvektör (PCA'ya hazırlık)

Kanca

Bir otomat makinesine 3 lira atarsan, her seferinde aynı ürünü mü alırsın? Evet — ve işte bir fonksiyon, tam olarak böyle çalışır.

Sezgi

Bir fonksiyon, bir girdi alıp bir çıktı üreten bir makinedir — aynı girdi, her zaman aynı çıktıyı verir. Fonksiyonun grafiği ise, tüm (girdi, çıktı) çiftlerinin bir resmidir.

Mekanizma

$f(x) = x^2$ fonksiyonunu bir girdi-çıktı makinesi olarak deneyelim:

Fonksiyon = girdi-çıktı makinesi

KodÇıktı

# Bir fonksiyon, bir girdi alıp bir çıktı üreten bir makinedir -- ne daha
# karmaşık, ne daha az. f(x) = x^2 fonksiyonunu deneyelim:
def f(x):
    return x ** 2

girdiler = [-2, -1, 0, 1, 2, 3]
print("Girdi (x)  ->  Çıktı (f(x) = x^2)")
for x in girdiler:
    print(f"  {x:3d}       ->  {f(x)}")

print("\nHer girdi için tek bir çıktı üretiliyor -- bu, bir fonksiyonun tanımıdır.")
print("f(3) her zaman 9 verir, başka bir şey değil.")

Girdi (x)  ->  Çıktı (f(x) = x^2)
   -2       ->  4
   -1       ->  1
    0       ->  0
    1       ->  1
    2       ->  4
    3       ->  9

Her girdi için tek bir çıktı üretiliyor -- bu, bir fonksiyonun tanımıdır.
f(3) her zaman 9 verir, başka bir şey değil.

Şimdi bu fonksiyonun grafiğini çizelim:

Grafik = tüm (x, f(x)) çiftlerinin resmi

KodÇıktı

# Bir fonksiyonun grafiği, tüm (x, f(x)) çiftlerinin bir resmidir.
x_degerleri = np.linspace(-3, 3, 100)
y_degerleri = f(x_degerleri)

print(f"\n{len(x_degerleri)} tane x değeri için f(x) hesaplandı.")
print(f"x=-3 -> f(x)={f(-3.0)}, x=0 -> f(x)={f(0.0)}, x=3 -> f(x)={f(3.0)}")
print("Bu (x, f(x)) çiftlerini çizince, fonksiyonun grafiği ortaya çıkıyor --")
print("bir U şekli (parabol), çünkü x^2 her zaman pozitif ya da sıfır.")


100 tane x değeri için f(x) hesaplandı.
x=-3 -> f(x)=9.0, x=0 -> f(x)=0.0, x=3 -> f(x)=9.0
Bu (x, f(x)) çiftlerini çizince, fonksiyonun grafiği ortaya çıkıyor --
bir U şekli (parabol), çünkü x^2 her zaman pozitif ya da sıfır.

Matematik

Ortalama değişim hızı

\begin{gathered} \text{ortalama değişim hızı} = \\ \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \end{gathered}

Bu, 1. dersteki araba hızı formülüyle ( $\frac{\text{mesafe}}{\text{zaman}}$ ) tam olarak aynı yapıdadır — burada “mesafe” $f(x)$ ‘in değişimi, “zaman” ise $x$ ‘in değişimidir.

Kod

İki nokta arasındaki ortalama değişim hızı

KodÇıktı

# İki nokta arasındaki ortalama değişim hızı, "ne kadar dikey / ne kadar
# yatay" gittiğinin oranıdır -- 1. dersteki araba hızı örneğiyle aynı fikir.
x1, x2 = 1, 3
degisim_hizi = (f(x2) - f(x1)) / (x2 - x1)

print(f"\nx=1'den x=3'e giderken:")
print(f"  f(1) = {f(1)}, f(3) = {f(3)}")
print(f"  Ortalama değişim hızı = (f(3) - f(1)) / (3 - 1) = ({f(3)} - {f(1)}) / {x2-x1} = {degisim_hizi}")
print("\nBu, iki nokta arasındaki 'ortalama' hızdır -- ama fonksiyon her noktada")
print("farklı hızla değişiyor (parabol dik ya da yatay olabilir). Bir noktadaki")
print("anlık değişim hızını bulmak, 9. dersin (türev) konusu.")


x=1'den x=3'e giderken:
  f(1) = 1, f(3) = 9
  Ortalama değişim hızı = (f(3) - f(1)) / (3 - 1) = (9 - 1) / 2 = 4.0

Bu, iki nokta arasındaki 'ortalama' hızdır -- ama fonksiyon her noktada
farklı hızla değişiyor (parabol dik ya da yatay olabilir). Bir noktadaki
anlık değişim hızını bulmak, 9. dersin (türev) konusu.

f(x)=x karesi fonksiyonunun parabol grafiği, x=1 ve x=3 noktaları arasındaki kesen doğrusuyla birlikte. — f(x)=x² parabolü ve x=1 ile x=3 arasındaki ortalama değişim hızı (kesen doğrunun eğimi): 4.0.

Nerede işe yarar

Fonksiyon ve grafik sezgisi, ilerideki iki derste hemen kullanılacak:

9. derste (türev), “bir noktadaki anlık değişim hızı” sorusunu cevaplayacağız — bu dersteki “ortalama” hızın, iki nokta birbirine sonsuz yaklaştıkça nasıl “anlık” hıza dönüştüğünü göreceğiz.
DL kategorilerinde, bir modelin “kayıp fonksiyonu” (loss function), tam olarak bu dersteki gibi bir girdi-çıktı makinesidir — girdi model parametreleri, çıktı bir hata sayısıdır.

Bu 2 hatayı yaparsın:

Fonksiyonu “karmaşık bir formül” sanmak — hayır, sadece her girdiye tek bir çıktı atayan bir kuraldır.
Ortalama değişim hızını “fonksiyonun her yerdeki hızı” sanmak — hayır, bu sadece iki nokta arasındaki ortalamadır; fonksiyon yol boyunca farklı hızlarda değişebilir.

Kendini test et

1. Notebook'ta f(3) her zaman 9 veriyor, başka hiçbir şey değil. Bu, bir fonksiyonun hangi özelliğini gösteriyor?

Fonksiyonların rastgele olduğunu
Bir fonksiyonun, aynı girdi için her zaman aynı çıktıyı ürettiğini -- bu, bir fonksiyonun tanımının temel parçasıdır (doğru cevap)
Sadece f(3)ün özel olduğunu
Fonksiyonların sadece sayılarla çalıştığını

Neden: fonksiyon-bir-makine bloğunda bu açıkça belirtiliyor: 'Her girdi için tek bir çıktı üretiliyor -- bu, bir fonksiyonun tanımıdır'.

2. degisim-hizina-onizleme bloğunda x=1'den x=3'e giderken ortalama değişim hızı 4.0 çıkıyor. Bu, fonksiyonun her noktada 4.0 hızla değiştiği anlamına mı gelir?

Evet, fonksiyon her yerde aynı hızla değişir
Hayır -- bu sadece x=1 ile x=3 arasındaki ortalama hızdır; parabol şeklindeki bir fonksiyon, yol boyunca farklı (bazen daha dik, bazen daha yatay) hızlarda değişir (doğru cevap)
Bu bir hesaplama hatası
Sadece x=1de geçerlidir

Neden: notebook çıktısında bu açıkça belirtiliyor: 'Bu, iki nokta arasındaki ortalama hızdır -- ama fonksiyon her noktada farklı hızla değişiyor'.

3. Bir sinir ağının 'kayıp fonksiyonu' (loss function), bu dersteki fonksiyon fikriyle nasıl ilişkilidir?

Hiçbir ilişkisi yok, tamamen farklı bir kavram
Kayıp fonksiyonu da bir girdi-çıktı makinesidir -- girdi olarak model parametrelerini alır, çıktı olarak bir hata sayısı üretir; tam olarak bu dersteki f(x)=x² gibi (doğru cevap)
Kayıp fonksiyonunun grafiği yoktur
Kayıp fonksiyonu sadece sıfır değeri döndürür

Neden: kullanım bölümünde bu açıkça bağlanıyor: kayıp fonksiyonu, bu dersteki gibi bir girdi-çıktı makinesidir.

Özet

Bir fonksiyon, bir girdi alıp tek bir çıktı üreten bir makinedir -- aynı girdi her zaman aynı çıktıyı verir.
Bir fonksiyonun grafiği, tüm (girdi, çıktı) çiftlerinin bir resmidir.
İki nokta arasındaki ortalama değişim hızı, (çıktı farkı) / (girdi farkı) olarak hesaplanır.
Bu ortalama hız, fonksiyonun her noktasındaki hızı yansıtmaz -- sadece o iki nokta arasındaki ortalamadır.
Bir noktadaki anlık değişim hızını bulmak, 9. dersin (türev) konusudur.

Sonraki adım: Türev: değişim hızı →