Özdeğer ve özvektör (PCA'ya hazırlık)

# Bir matris, çoğu vektörün yönünü değiştirir. Ama bazı özel vektörler için,
# matris sadece büyüklüğü değiştirir, yönü aynı kalır -- bunlara özvektör denir.
M = np.array([[2, 1], [1, 2]])

v1 = np.array([1, 0])   # rastgele bir vektör
v2 = np.array([1, 1])   # Özel bir yön
v3 = np.array([1, -1])  # Başka bir özel yön

for isim, v in [("v1=[1,0]", v1), ("v2=[1,1]", v2), ("v3=[1,-1]", v3)]:
    Mv = M @ v
    # v'nin yönü ile Mv'nin yönü aynı mı? (biri diğerinin sabit katıysa aynı yön)
    orantili = np.allclose(Mv * v[0], v * Mv[0]) if v[0] != 0 else np.allclose(Mv[0], 0)
    print(f"{isim}: M @ v = {Mv.tolist()}  -- {'Yön aynı (özvektör!)' if orantili else 'Yön değişti'}")

print("\nv1=[1,0] için Mv=[2,1] -- bu, v1 ile aynı yönde değil (v1 yatay, Mv çapraz).")
print("v2=[1,1] için Mv=[3,3] = 3 x [1,1] -- tam olarak aynı yönde, sadece 3 katına çıkmış!")
print("v3=[1,-1] için Mv=[1,-1] = 1 x [1,-1] -- yine aynı yönde, hiç değişmemiş!")

# NumPy'nin np.linalg.eig fonksiyonu, özdeğerleri (eigenvalue) ve özvektörleri
# (eigenvector) otomatik bulur -- elle bulduklarımızla karşılaştıralım.
ozdegerler, ozvektorler = np.linalg.eig(M)

print(f"\nnp.linalg.eig(M) özdeğerleri: {ozdegerler.tolist()}")
print(f"np.linalg.eig(M) özvektörleri (sütun olarak):\n{ozvektorler}")

# Elle bulduğumuz v2=[1,1] yönü, normalize edilince özvektörle örtüşmeli.
v2_normalize = v2 / np.linalg.norm(v2)
print(f"\nv2=[1,1] normalize edilmiş hâli: {v2_normalize.tolist()}")
print(f"NumPy'nin bulduğu ilk özvektör: {ozvektorler[:, 0].tolist()}")
print(f"Bu iki yön (işaret farkı olabilir) aynı doğrultuda: {np.allclose(np.abs(v2_normalize), np.abs(ozvektorler[:, 0]))}")