Bernoulli ve Binom

Kanca

20 kişilik bir e-posta listesine kampanya gönderiyorsun, geçmiş verilerine göre her e-postanın açılma olasılığı %30. Bu kampanyada kaç kişi açar? 6 kişi mi, tam olarak? Hayır — ama “6 civarı, ve bunun ne kadar civarı olduğunu da hesaplayabiliriz” diyebiliriz.

Sezgi

Tek bir e-postanın açılıp açılmaması bir yazı-tura gibidir: sadece iki sonuç var, açıldı (1) ya da açılmadı (0). Buna Bernoulli denemesi denir — tek bir p (başarı olasılığı) parametresiyle tanımlanır.

Şimdi bu denemeyi 20 kez, birbirinden bağımsız olarak tekrarla (20 farklı kişiye e-posta gönder) ve kaç tanesinin “başarı” (açılma) olduğunu say. Bağımsız Bernoulli denemelerinin toplam başarı sayısı Binom dağılımına uyar — ortalaması n×p’dir ama her seferinde tam o sayı çıkmaz, etrafında dağılır. 20×0.30 = 6 kişi “beklenen” sayıdır, ama bazı kampanyalarda 3, bazılarında 10 kişi açabilir.

n ve p’yi değiştir, dağılımın şeklinin nasıl kaydığını izle. p arttıkça dağılım sağa kayar; n arttıkça çan eğrisine benzemeye başlar.

Mekanizma

Somut sayılarla ilerleyelim. Önce tek bir Bernoulli denemesi:

# Bir e-posta kampanyası: her e-postanın açılma olasılığı p = 0.30.
# Tek bir e-posta göndermek = tek bir Bernoulli denemesi (açıldı: 1, açılmadı: 0).
p = 0.30
tek_deneme = rng.random(10) < p  # 10 e-posta, her biri bağımsız bir Bernoulli denemesi
print("10 e-postanın açılma durumu:", tek_deneme.astype(int))
print(f"Bu 10 e-postada açılma oranı: {tek_deneme.mean():.2f}  (teorik p = {p})")

10 e-postanın açılma durumu: [0 0 0 0 1 0 0 0 1 0]
Bu 10 e-postada açılma oranı: 0.20  (teorik p = 0.3)

10 e-postada 2 tanesi açıldı — oran 0.20, teorik p=0.30’a tam eşit değil, çünkü sadece 10 deneme var (küçük örneklem). Şimdi 20 e-postalık kampanyayı 10.000 kez simüle edip her seferinde kaç e-postanın açıldığını sayıyoruz:

# Şimdi 20 e-postalık BİR kampanyayı 10.000 kez tekrarla — her seferinde kaç tanesi açılıyor?
n = 20
tekrar = 10_000
acilan_sayisi = rng.binomial(n, p, size=tekrar)  # her eleman: bir kampanyada açılan e-posta sayısı

for k in [0, 4, 6, 8, 12]:
    deneysel = np.mean(acilan_sayisi == k)
    teorik = stats.binom.pmf(k, n, p)
    print(f"k={k:>2}  deneysel P(X=k)={deneysel:.4f}   teorik P(X=k)={teorik:.4f}")

k= 0  deneysel P(X=k)=0.0006   teorik P(X=k)=0.0008
k= 4  deneysel P(X=k)=0.1353   teorik P(X=k)=0.1304
k= 6  deneysel P(X=k)=0.1937   teorik P(X=k)=0.1916
k= 8  deneysel P(X=k)=0.1138   teorik P(X=k)=0.1144
k=12  deneysel P(X=k)=0.0036   teorik P(X=k)=0.0039

Deneysel ve teorik olasılıklar (örneğin k=6 için %19.37 ve %19.16) neredeyse birebir örtüşüyor. Bu bize Binom dağılımının formülünün gerçekten işe yaradığını gösteriyor — elle 10.000 kampanya simüle etmeye gerek yok, formül aynı sonucu veriyor.

Çoğu kişi “ortalama 6 kişi açar, demek her kampanyada 6 kişi açılır” sanır. Değil, çünkü ortalama sadece uzun vadede beklenen değerdir — tek bir kampanyada 4 de, 9 da açılabilir; Binom dağılımı bu değişkenliği tam olarak nicelendirir.

Matematik

Kod

Formülün verdiği ortalama ve varyansın simülasyonla ne kadar örtüştüğünü, ve “en az 10 kişi açar mı” gibi pratik bir soruyu kontrol edelim:

deneysel_ortalama = acilan_sayisi.mean()
deneysel_varyans = acilan_sayisi.var()
teorik_ortalama = n * p
teorik_varyans = n * p * (1 - p)

print(f"Deneysel ortalama: {deneysel_ortalama:.2f}   Teorik n*p = {teorik_ortalama:.2f}")
print(f"Deneysel varyans:  {deneysel_varyans:.2f}   Teorik n*p*(1-p) = {teorik_varyans:.2f}")

# En az 10 kişinin açması ne kadar olası?
p_en_az_10 = np.mean(acilan_sayisi >= 10)
p_en_az_10_teorik = 1 - stats.binom.cdf(9, n, p)
print(f"\nP(en az 10 açılma) deneysel = {p_en_az_10:.4f}   teorik = {p_en_az_10_teorik:.4f}")

Deneysel ortalama: 5.98   Teorik n*p = 6.00
Deneysel varyans:  4.19   Teorik n*p*(1-p) = 4.20

P(en az 10 açılma) deneysel = 0.0483   teorik = 0.0480

Nerede işe yarar

Binom dağılımı “n bağımsız evet/hayır denemesinde kaç tane evet” sorusunun cevabıdır — bu soru her yerde karşına çıkar:

• Pazarlama ve ürün. E-posta açılma oranı, reklam tıklama oranı, A/B testinde dönüşüm sayısı.
• Kalite kontrol. 100 parçalık bir üretim partisinde kaç tanesinin hatalı çıkacağı.
• Anketler. 500 kişilik bir örneklemde “evet” diyenlerin sayısı — ileride güven aralığı ve hipotez testi derslerinde bu tam olarak Binom dağılımına dayanacak.

Bu 3 hatayı yaparsın:

1. Denemelerin bağımsız olduğunu kontrol etmeden Binom uygulamak — örneğin aynı kişiye art arda gönderilen e-postalar bağımsız olmayabilir (biri açmazsa ikincisini de açmayabilir).
2. n büyükken $\binom{n}{k}$‘yı elle hesaplamaya çalışıp taşma (overflow) hatası almak — scipy.stats.binom bunu güvenli hesaplar.
3. p’nin her denemede sabit kaldığını varsaymak — gerçekte açılma olasılığı gün içindeki saate göre değişebilir, bu da modelin varsayımını bozar.

Kendini test et

Özet