Uniform dağılım

Kanca

Bir otobüs her 10 dakikada bir geliyor, ama sen durağa ne zaman geleceğini bilmeden, rastgele bir anda varıyorsun. Bekleme süren 1 dakika mı, 7 dakika mı, yoksa 9.5 dakika mı olur — hangisi daha olası?

Sezgi

Cevap: hiçbiri diğerinden daha olası değil. Otobüsün ne zaman geleceğini bilmediğin için, durağa vardığın an ile bir sonraki otobüs arasındaki her an eşit ihtimalle “senin anın” olabilir. Bu, önceki derslerde gördüğümüz Normal dağılımdan (ortada yoğun, kenarlarda seyrek) temelden farklı: Uniform dağılımda olasılık yoğunluğu baştan sona sabittir — hiçbir değer diğerinden daha “favorisi” değildir.

Alt ve üst sınırları değiştir: PDF her zaman düz bir çizgi olarak kalıyor, sadece yüksekliği ve genişliği değişiyor. CDF ise sabit eğimli düz bir doğru — çünkü olasılık her birim aralıkta aynı hızla birikiyor.

Mekanizma

0 ile 10 dakika arasında Uniform dağılan bekleme sürelerini simüle edelim:

# Bir otobüs her 10 dakikada bir durağa geliyor. Sen durağa rastgele bir anda varıyorsun —
# bekleme süren 0 ile 10 dakika arasında EŞİT olasılıklı herhangi bir değer (Uniform).
a, b = 0, 10
bekleme_sureleri = rng.uniform(a, b, size=20_000)

print(f"Ortalama bekleme: {bekleme_sureleri.mean():.2f} dk   (teorik (a+b)/2 = {(a + b) / 2})")
print(f"Std sapma:        {bekleme_sureleri.std():.2f} dk   (teorik (b-a)/sqrt(12) = {(b - a) / np.sqrt(12):.2f})")

Ortalama bekleme: 5.00 dk   (teorik (a+b)/2 = 5.0)
Std sapma:        2.89 dk   (teorik (b-a)/sqrt(12) = 2.89)

Ortalama tam 5.00 dakika çıktı — aralığın tam ortası, beklendiği gibi. Şimdi birkaç somut soruyu cevaplayalım:

dagilim = stats.uniform(loc=a, scale=b - a)

p_5den_az = dagilim.cdf(5)
p_8den_fazla = 1 - dagilim.cdf(8)
p_2ile6_arasi = dagilim.cdf(6) - dagilim.cdf(2)

print(f"P(bekleme < 5 dk)      = {p_5den_az:.2f}")
print(f"P(bekleme > 8 dk)      = {p_8den_fazla:.2f}")
print(f"P(2 < bekleme < 6 dk)  = {p_2ile6_arasi:.2f}")

P(bekleme < 5 dk)      = 0.50
P(bekleme > 8 dk)      = 0.20
P(2 < bekleme < 6 dk)  = 0.40

P(bekleme < 5 dk) = 0.50 — aralığın yarısı, olasılığın da yarısı. Bu Uniform’un imzasıdır: olasılık, aralığın uzunluğuyla doğru orantılıdır, aralığın nerede olduğuyla değil.

# Uniform'un ayırt edici özelliği: eşit UZUNLUKTAKİ her aralığın olasılığı eşittir,
# aralık dağılımın neresinde olursa olsun.
for baslangic in [0, 2, 4, 6]:
    olasilik = dagilim.cdf(baslangic + 2) - dagilim.cdf(baslangic)
    print(f"P({baslangic} < X < {baslangic + 2}) = {olasilik:.2f}")

P(0 < X < 2) = 0.20
P(2 < X < 4) = 0.20
P(4 < X < 6) = 0.20
P(6 < X < 8) = 0.20

0-2, 2-4, 4-6, 6-8 aralıklarının hepsi 2 dakika uzunluğunda ve hepsinin olasılığı tam %20. Çoğu kişi “aralık ortaya yakınsa daha olası” sanır (Normal dağılımdaki alışkanlıkla). Değil, çünkü Uniform’da yoğunluk her yerde aynı — sadece aralığın uzunluğu olasılığı belirler, konumu değil.

Matematik

Kod

Nerede işe yarar

Uniform dağılım, “elimde hiçbir sebep yokken herhangi bir değeri diğerinden daha olası saymamalıyım” durumlarında kullanılır:

• Simülasyon ve rastgele sayı üretimi. Bilgisayarlardaki temel rastgele sayı üreteci [0,1) arasında Uniform dağılır — diğer tüm dağılımlar (Normal, Binom, Poisson) aslında bu Uniform’dan türetilir.
• Bekleme/varış zamanı modelleri. Otobüs, asansör, kuyruk sistemlerinde “bir sonraki olaya kalan süre” sıkça Uniform ile modellenir.
• A/B test tasarımı. Kullanıcıları rastgele iki gruba ayırırken her kullanıcının hangi gruba düşeceği Uniform bir olasılıkla belirlenir.

Bu 3 hatayı yaparsın:

1. Gerçek dünyada her “rastgele” görünen şeyi Uniform sanmak — insan davranışları, doğal ölçümler genelde Normal veya çarpık dağılır, Uniform değil.
2. Sınırları (a, b) yanlış belirlemek — aralık dışındaki her nokta PDF’te sıfırdır, aralığı yanlış çizersen tüm hesap yanlış çıkar.
3. Kesikli bir Uniform (örn. zar) ile sürekli Uniform’u karıştırmak — zar kesikli (her yüz ayrı bir olasılık), bekleme süresi sürekli (PDF ile).

Kendini test et

Özet