Normal dağılım

Kanca

200 kişilik bir sınıfın sınav sonuçlarına bakıyorsun: çoğu kişi ortalamanın etrafında toplanmış, birkaç kişi çok düşük, birkaç kişi çok yüksek almış. İnsan boyları, ölçüm hataları, bir fabrikadaki vida uzunlukları — hepsi aynı şekle benziyor. Bu şekle normal dağılım deniyor. Neden bu kadar yaygın, ve bir öğrencinin 80 üzeri alma ihtimalini bu eğriden nasıl okuyoruz?

Sezgi

70 ortalamalı bir sınavı düşün. 70’e çok yakın puan almak kolay — küçük şanssızlıklar ve küçük şansların toplamı seni ortalamadan pek uzaklaştırmaz. Ama 95 almak için pek çok küçük şeyin aynı anda senin lehine dönmesi gerekir; bu nadir. Normal dağılım tam olarak bunu çiziyor: ortalamaya yakın değerler sık, uzak değerler gittikçe seyrekleşiyor, ve bu seyrekleşme simetrik.

Aşağıdaki oyun alanında ortalamayı ve standart sapmayı değiştir. Standart sapma küçüldükçe eğri sivrileşiyor — sınıf daha “tahmin edilebilir” hâle geliyor. Büyüdükçe eğri yayılıyor — sonuçlar daha dağınık.

Grafikte iki çizgi var: PDF (düz çizgi) belli bir puanın etrafının ne kadar “yoğun” olduğunu gösterir — tek başına bir olasılık değildir, bir yoğunluktur. CDF (kesikli çizgi) ise “bu puan ve altını alanların oranı nedir” sorusunun cevabıdır — 0’dan başlar, 1’e çıkar. Eşik çizgisini sürükle, sağdaki sayının nasıl değiştiğini izle.

Mekanizma

Somut sayılarla ilerleyelim. Sınavın ortalaması μ (mu) = 70, standart sapması σ (sigma) = 10 olsun.

1. Merkeze bak. 70 puan, ortalamanın tam üzerinde — yoğunluk burada en yüksek.
2. Bir standart sapma uzaklaş. 80 puan (70 + 10), yoğunluk düşmeye başlamış ama hâlâ makul bir bölgedeyiz — sınıfın büyük kısmı 60–80 arasında.
3. İki standart sapma uzaklaş. 90 puan (70 + 2×10), artık eğrinin kenarındayız — buraya ulaşan öğrenci sayısı azalıyor.
4. CDF’e geç. “80 ve üzeri kaç kişi” sorusunu PDF eğrisinin altındaki alanı 80’den sonsuza kadar toplayarak cevaplarız. Bunu elle entegre almak yerine CDF fonksiyonunu kullanıyoruz: alan(80, ∞) = 1 − CDF(80).

Aşağıdaki koda göz at: önce PDF’i sıfırdan NumPy ile hesaplıyoruz, sonra aynı sonucu scipy.stats ile doğruluyoruz.

# 200 öğrencilik bir sınav: ortalama 70, standart sapma 10 varsayalım.
ortalama, std = 70, 10


def normal_pdf(x, mu, sigma):
    # Normal dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu, sıfırdan.
    katsayi = 1 / (sigma * np.sqrt(2 * np.pi))
    us = -((x - mu) ** 2) / (2 * sigma**2)
    return katsayi * np.exp(us)


for puan in [50, 60, 70, 80, 90]:
    yogunluk = normal_pdf(puan, ortalama, std)
    print(f"puan={puan:>3}  yoğunluk={yogunluk:.4f}")

puan= 50  yoğunluk=0.0054
puan= 60  yoğunluk=0.0242
puan= 70  yoğunluk=0.0399
puan= 80  yoğunluk=0.0242
puan= 90  yoğunluk=0.0054

# Aynı hesabı scipy.stats ile doğrula, sonra soruyu tersten sor:
# "80 ve üzeri alan öğrencilerin oranı nedir?"
dagilim = stats.norm(loc=ortalama, scale=std)

for puan in [50, 60, 70, 80, 90]:
    print(f"puan={puan:>3}  yoğunluk={dagilim.pdf(puan):.4f}")

oran_80_uzeri = 1 - dagilim.cdf(80)
print(f"\n80 ve üzeri alanların oranı: %{oran_80_uzeri * 100:.1f}")

puan= 50  yoğunluk=0.0054
puan= 60  yoğunluk=0.0242
puan= 70  yoğunluk=0.0399
puan= 80  yoğunluk=0.0242
puan= 90  yoğunluk=0.0054

80 ve üzeri alanların oranı: %15.9

Çoğu kişi PDF değerini doğrudan bir olasılık sanır — “yoğunluk 0.0399, yani %3.99 mu?” Değil, çünkü PDF sürekli bir değişken için nokta olasılığı vermez, sadece o civarın ne kadar “kalabalık” olduğunu gösterir. Gerçek olasılığı almak için her zaman bir aralığın altındaki alanı (yani CDF farkını) hesaplarız.

Matematik

Kod

Şimdi bir soruyu uçtan uca cevaplayalım: 80 ve üzeri alan öğrencilerin oranı nedir?

# Aynı hesabı scipy.stats ile doğrula, sonra soruyu tersten sor:
# "80 ve üzeri alan öğrencilerin oranı nedir?"
dagilim = stats.norm(loc=ortalama, scale=std)

for puan in [50, 60, 70, 80, 90]:
    print(f"puan={puan:>3}  yoğunluk={dagilim.pdf(puan):.4f}")

oran_80_uzeri = 1 - dagilim.cdf(80)
print(f"\n80 ve üzeri alanların oranı: %{oran_80_uzeri * 100:.1f}")

puan= 50  yoğunluk=0.0054
puan= 60  yoğunluk=0.0242
puan= 70  yoğunluk=0.0399
puan= 80  yoğunluk=0.0242
puan= 90  yoğunluk=0.0054

80 ve üzeri alanların oranı: %15.9

Nerede işe yarar

Normal dağılım üç yerde sürekli karşına çıkacak:

• Kalite kontrol. Bir üretim hattında parça uzunlukları normal dağılırsa, “toleransın dışına çıkma oranı” doğrudan CDF’ten okunur.
• A/B testleri ve hipotez testleri. İleride göreceğin z-testi ve t-testi, örneklem ortalamalarının normale yaklaştığı varsayımına (merkezi limit teoremi) dayanır.
• Standartlaştırma (z-skoru). Farklı ölçeklerdeki iki değeri karşılaştırmak için ikisini de “kaç standart sapma uzaktayım” birimine çeviririz.

Bu 3 hatayı yaparsın:

1. Her veriyi normal sanmak. Gelir dağılımı gibi çarpık (sağa yayılan) veriler normale zorlanırsa yanlış sonuç çıkar — önce histograma bak.
2. PDF yüksekliğini olasılıkla karıştırmak (yukarıda değindik).
3. σ = 0 olan bir durumda formülü doğrudan çalıştırmaya çalışmak — bölme hatası verir; gerçek veride bu, “hiç varyans yok” demektir ve ayrı ele alınmalı.

Kendini test et

Özet