Olasılık dağılım fonksiyonları

Kanca

Bir zarın sonucu 1, 2, 3, 4, 5 ya da 6 olabilir — asla 3.5 olmaz. Ama bir otobüsün durağa gelmesine kalan süre 4 dakika, 4.2 dakika, 4.237 dakika… sonsuz ihtimalden biri olabilir. Bu iki durumu aynı olasılık diliyle nasıl anlatırız, ve “otobüs tam 4.0000… dakikada gelir” demenin neden anlamsız olduğunu nasıl gösteririz?

Sezgi

Bir rassal değişken, şansa bağlı bir sonucu sayıya çeviren şeydir: zar atışının sonucu, bir otobüsün bekleme süresi, bir sınav puanı — hepsi rassal değişken. Ama iki türü var ve davranışları temelden farklı.

Kesikli bir değişken sadece belirli, sayılabilir değerler alır (zar: 1,2,3,4,5,6). Sürekli bir değişken ise bir aralıktaki herhangi bir değeri alabilir (bekleme süresi: 0 ile 10 dakika arasında sonsuz ihtimal). Kesiklide her değerin kendine ait bir olasılığı vardır; süreklide tek bir noktanın olasılığı her zaman sıfırdır — çünkü sonsuz ihtimalden biri seçilmiş olur. Bunun yerine süreklide her zaman bir aralığın olasılığından bahsederiz.

Mekanizma

İki örnekle ilerleyelim.

1. Kesikli: zar. X = zar sonucu. Her değerin (1’den 6’ya) olasılığı eşit: 1/6 ≈ 0.1667. Bu olasılıkları veren fonksiyona PMF (olasılık kütle fonksiyonu — probability mass function) denir. Hepsini toplarsan 1 çıkar.

# Kesikli (discrete) rassal değişken: bir zarın gösterdiği sayı, X.
# X sadece 1,2,3,4,5,6 değerlerini alabilir — aradaki değerleri (2.5 gibi) hiç almaz.
degerler = np.arange(1, 7)
pmf = np.full(6, 1 / 6)  # her yüz eşit olasılıklı

print("X değerleri:", degerler)
print("PMF (her değerin olasılığı):", np.round(pmf, 4))
print("Toplam olasılık:", pmf.sum())

X değerleri: [1 2 3 4 5 6]
PMF (her değerin olasılığı): [0.1667 0.1667 0.1667 0.1667 0.1667 0.1667]
Toplam olasılık: 0.9999999999999999

2. Sürekli: otobüs bekleme süresi. Y = durağa gelmesine kalan süre, 0 ile 10 dakika arasında eşit olasılıklı (Uniform dağılım — 7. derste detaylı işleyeceğiz). Burada tek bir noktanın olasılığını sormak anlamsız: P(Y = 4) tam olarak sıfırdır. Bunun yerine bir aralık sorarız: P(4.00 ≤ Y ≤ 4.01) = 0.001, P(3 ≤ Y ≤ 5) = 0.2.

# Sürekli (continuous) rassal değişken: bir otobüsün durağa gelmesine kalan süre,
# Y, 0 ile 10 dakika arasında herhangi bir değeri alabilir (Uniform dağılım).
dagilim = stats.uniform(loc=0, scale=10)

# Tek bir NOKTA olasılığı: Y tam olarak 4.0000... dakika mı? Sürekli değişkende bu her zaman sıfırdır.
print("P(Y = 4) tam olarak         = 0  (sürekli değişkende her nokta olasılığı sıfırdır)")
# Küçük bir ARALIK olasılığı: Y, 4 ile 4.01 arasında mı?
print("P(4.00 ≤ Y ≤ 4.01)          =", dagilim.cdf(4.01) - dagilim.cdf(4.00))
# Daha geniş bir aralık: Y, 3 ile 5 arasında mı?
print("P(3 ≤ Y ≤ 5)                =", dagilim.cdf(5) - dagilim.cdf(3))

P(Y = 4) tam olarak         = 0  (sürekli değişkende her nokta olasılığı sıfırdır)
P(4.00 ≤ Y ≤ 4.01)          = 0.0009999999999999454
P(3 ≤ Y ≤ 5)                = 0.2

Çoğu kişi PDF’in (sürekli dağılımın yoğunluk fonksiyonu) doğrudan olasılık verdiğini sanır. Değil, çünkü PDF sadece bir yoğunluktur — gerçek olasılık, PDF’in bir aralık üzerindeki alanından (integralinden) gelir. Tek nokta = sıfır genişlikli aralık = sıfır alan = sıfır olasılık.

Matematik

Kod

Aynı CDF mantığını iki değişken için de hesaplayalım — biri basamaklı, biri pürüzsüz çıkacak:

# Her iki değişken için de CDF'i (F(x) = P(X ≤ x)) hesaplayabiliriz.
kesikli_cdf = np.cumsum(pmf)
print("Kesikli CDF (zar):", np.round(kesikli_cdf, 4))

for y in [0, 2.5, 5, 7.5, 10]:
    print(f"Sürekli CDF: P(Y ≤ {y:>4}) = {dagilim.cdf(y):.2f}")

Kesikli CDF (zar): [0.1667 0.3333 0.5    0.6667 0.8333 1.    ]
Sürekli CDF: P(Y ≤    0) = 0.00
Sürekli CDF: P(Y ≤  2.5) = 0.25
Sürekli CDF: P(Y ≤    5) = 0.50
Sürekli CDF: P(Y ≤  7.5) = 0.75
Sürekli CDF: P(Y ≤   10) = 1.00

Nerede işe yarar

Bu ayrımı bilmek, ileride hangi aracı kullanacağını belirler:

• Kesikli modeller: bir web sayfasına gelen tıklama sayısı, bir üründe bulunan hata sayısı, bir A/B testinde dönüşüm sayısı — bunlar Bernoulli, Binom, Poisson gibi kesikli dağılımlarla modellenir (4. ve 5. derste).
• Sürekli modeller: bekleme süresi, sıcaklık, gelir, ölçüm hatası — Normal, Uniform, Log-normal gibi sürekli dağılımlarla modellenir (6-9. derste).
• Kod yazarken: kesikli bir değişkene sürekli bir dağılım (veya tersini) uygulamak, yanlış olasılık hesaplarına yol açar — scipy.stats’ta pmf() ve pdf() metotları bu yüzden ayrıdır.

Bu 3 hatayı yaparsın:

1. PDF değerini olasılıkmış gibi okumak (örn. “yoğunluk 2.0, yani %200 mü?” — PDF 1’i geçebilir, sorun değil, çünkü olasılık değil).
2. Sürekli bir değişkende “tam olarak şu değer” olasılığını sıfırdan farklı sanmak.
3. Kesikli bir değişkenin CDF’ini sürekliymiş gibi çizmek — basamakları düzleştirmek yanlış bir izlenim verir.

Kendini test et

Özet