Log-normal

Kanca

5000 küçük şirketin yıllık gelirini simüle ettik: ortalama 13.09 milyon TL, medyan 12.16 milyon TL, en yüksek gelir ise 48.50 milyon TL. Ortalama medyandan büyük — 1. derste gördüğümüz “sağa çarpık dağılım” imzası. Ama bu sefer tek bir aykırı değer yok, dağılımın kendisi böyle. Neden gelir, ev fiyatı, şehir nüfusu gibi şeyler hep bu şekle bürünür?

Sezgi

Normal dağılım, birçok küçük etkinin toplanmasından doğar (boy uzunluğu: genetik + beslenme + … hepsi eklenir). Ama bazı süreçler toplanmaz, çarpılır: bir şirketin geliri her yıl bir önceki yılın üzerine %X büyür — bu çarpımsal bir süreçtir. Çarpımsal süreçlerin logaritmasını alırsan, çarpma toplamaya dönüşür (log(a×b) = log(a)+log(b)) ve o zaman merkezi limit teoreminin mantığı devreye girer.

Bir değişkenin kendisi değil, logaritması Normal dağılıyorsa, o değişken Log-normal dağılır. Sonuç hep pozitif ve sağa çarpık çıkar — çünkü çarpımsal büyüme aşağı yönde sıfırda durur ama yukarı yönde sınırsız gidebilir.

μ ve σ’yı (log-ortalama ve log-std) değiştir: dağılım hep pozitif tarafta kalıyor ve sağa doğru uzun bir kuyruk taşıyor — Normal’in simetrik çan eğrisinden temelden farklı.

Mekanizma

Şirket gelirlerini simüle ederek başlayalım:

# 5000 küçük şirketin yıllık gelirini (milyon TL) simüle edelim. Gelir büyümesi
# ÇARPIMSAL çalışır (her yıl %X büyüme), bu yüzden Normal değil Log-normal dağılır.
mu, sigma = 2.5, 0.4  # log-gelirin ortalaması ve standart sapması
gelirler = rng.lognormal(mean=mu, sigma=sigma, size=5000)

print(f"Ortalama gelir:  {gelirler.mean():.2f} milyon TL")
print(f"Medyan gelir:    {np.median(gelirler):.2f} milyon TL")
print(f"En yüksek gelir: {gelirler.max():.2f} milyon TL")
print("\nOrtalama medyandan büyük — sağa çarpık dağılımın tipik imzası (bkz. 1. ders).")

Ortalama gelir:  13.09 milyon TL
Medyan gelir:    12.16 milyon TL
En yüksek gelir: 48.50 milyon TL

Ortalama medyandan büyük — sağa çarpık dağılımın tipik imzası (bkz. 1. ders).

Şimdi bu iddiayı doğrudan test edelim: gerçekten gelirin logaritması Normal dağılıyor mu?

# Log-normal'in geldiği yer: değişkenin LOGARİTMASI normal dağılır.
log_gelirler = np.log(gelirler)
print(f"log(gelir) ortalaması: {log_gelirler.mean():.3f}   (girdiğimiz mu = {mu})")
print(f"log(gelir) std sapması: {log_gelirler.std():.3f}   (girdiğimiz sigma = {sigma})")

# Normallik testi: log(gelir) gerçekten normale benziyor mu?
istatistik, p_degeri = stats.shapiro(log_gelirler[:500])  # örneklem, hız için 500'e kısıtlı
print(f"\nShapiro-Wilk normallik testi p-değeri: {p_degeri:.3f}  (0.05'ten büyükse 'normalden farklı değil' sonucu güçlenir)")

log(gelir) ortalaması: 2.492   (girdiğimiz mu = 2.5)
log(gelir) std sapması: 0.400   (girdiğimiz sigma = 0.4)

Shapiro-Wilk normallik testi p-değeri: 0.633  (0.05'ten büyükse 'normalden farklı değil' sonucu güçlenir)

log(gelir)‘in ortalaması 2.492, std sapması 0.400 — girdiğimiz μ=2.5 ve σ=0.4’e çok yakın. Shapiro-Wilk testinin p-değeri 0.633 (0.05’ten büyük), yani log(gelir)‘in Normal’den anlamlı bir sapması yok — tam da beklediğimiz gibi.

Çoğu kişi “gelir dağılımı zaten Normal’dir, sadece birkaç aykırı zengin var” sanır. Değil, çünkü burada aykırı değer yok — 5000 şirketin tamamı aynı çarpımsal büyüme mekanizmasından geçiyor, dağılımın kendisi baştan sağa çarpık kurulmuş durumda.

Matematik

Kod

Pratik bir soru: rastgele seçilen bir şirketin geliri 10 milyon TL’yi geçme olasılığı nedir?

dagilim = stats.lognorm(s=sigma, scale=np.exp(mu))

p_10dan_fazla = 1 - dagilim.cdf(10)
p_5in_altinda = dagilim.cdf(5)

print(f"P(gelir > 10 milyon TL) = {p_10dan_fazla:.4f}")
print(f"P(gelir < 5 milyon TL)  = {p_5in_altinda:.4f}")

P(gelir > 10 milyon TL) = 0.6892
P(gelir < 5 milyon TL)  = 0.0130

P(gelir > 10M) = %68.92 — medyan (12.16M) 10’un üzerinde olduğu için bu şaşırtıcı değil. P(gelir < 5M) sadece %1.30 — sağa çarpık dağılımda düşük uçta çok az yoğunluk var.

Nerede işe yarar

Log-normal, “çarpımsal büyüme” mantığının olduğu her yerde karşına çıkar:

• Finans. Hisse senedi fiyatları, portföy getirileri klasik olarak Log-normal modellenir (Black-Scholes modelinin temel varsayımı).
• Ekonomi. Gelir dağılımı, ev fiyatları, şirket büyüklükleri.
• Doğal ve teknik sistemler. Bir yazılımın yanıt süresi, bir virüsün kuluçka süresi, parçacık boyutları.

Bu 3 hatayı yaparsın:

1. Sağa çarpık veriye doğrudan Normal istatistikleri (ortalama, std) uygulamak — ortalama, birkaç büyük değerden aşırı etkilenir; medyan burada daha güvenilir.
2. Log-normal’in ortalamasını $e^\mu$ sanmak — doğrusu $e^{\mu+\sigma^2/2}$‘dir, $\sigma$ arttıkça ortalama medyandan daha da uzaklaşır.
3. Negatif veya sıfır değer içeren veriye Log-normal uygulamaya çalışmak — logaritma tanımsız kalır, önce verinin pozitif olduğundan emin olmalısın.

Kendini test et

Özet