Poisson

Kanca

Bir kafeye saatte ortalama 4 müşteri geliyor. Bu, “her saat tam 4 kişi gelir” demek değil — bazı saatler 0 kişi, bazı saatler 9 kişi gelebilir. Hiç müşteri gelmeyen bir saat ne kadar olası, ve “bugün müthiş yoğunduk, 8’den fazla kişi geldi” demek ne kadar sıra dışı?

Sezgi

Önceki derste Binom dağılımını “n tane bağımsız deneme, kaçı başarılı” olarak kurmuştuk. Ama müşteri gelişinde bir “n deneme sayısı” yok — müşteriler günün herhangi bir anında, rastgele gelebilir. Burada saymak istediğimiz şey belirli bir aralıkta (bir saatte) kaç nadir olay olduğu.

Poisson dağılımı, bağımsız ve rastgele zamanlarda gerçekleşen olayların belirli bir aralıktaki sayısını modeller — tek parametresi λ (lambda), o aralıktaki ortalama olay sayısıdır. λ ne kadar büyükse, dağılım o kadar sağa kayar ve genişler.

λ’yı değiştir: küçük λ’da dağılım 0’a yakın ve çarpık, büyük λ’da simetrik bir çan eğrisine yaklaşıyor.

Mekanizma

Kafe örneğine dönelim: λ = 4 (saatte ortalama 4 müşteri). 10.000 saati simüle edip her saatte kaç müşteri geldiğini sayalım:

# Bir kafeye saatte ortalama 4 müşteri geliyor (lambda = 4). Müşteriler birbirinden
# bağımsız, rastgele zamanlarda geliyor. 10.000 saati simüle edelim.
lam = 4
tekrar = 10_000
saatlik_musteri = rng.poisson(lam, size=tekrar)

for k in [0, 2, 4, 6, 10]:
    deneysel = np.mean(saatlik_musteri == k)
    teorik = stats.poisson.pmf(k, lam)
    print(f"k={k:>2}  deneysel P(X=k)={deneysel:.4f}   teorik P(X=k)={teorik:.4f}")

print(f"\nDeneysel ortalama: {saatlik_musteri.mean():.2f}   Teorik lambda = {lam}")
print(f"Deneysel varyans:  {saatlik_musteri.var():.2f}   Teorik lambda = {lam}")

k= 0  deneysel P(X=k)=0.0196   teorik P(X=k)=0.0183
k= 2  deneysel P(X=k)=0.1410   teorik P(X=k)=0.1465
k= 4  deneysel P(X=k)=0.1986   teorik P(X=k)=0.1954
k= 6  deneysel P(X=k)=0.1035   teorik P(X=k)=0.1042
k=10  deneysel P(X=k)=0.0053   teorik P(X=k)=0.0053

Deneysel ortalama: 4.00   Teorik lambda = 4
Deneysel varyans:  4.10   Teorik lambda = 4

Deneysel ve teorik olasılıklar (k=4 için %19.86 ve %19.54) birbirine çok yakın. Deneysel ortalama tam 4.00, deneysel varyans 4.10 — teorik değer olan λ=4’e çok yakın. Poisson’da hem ortalama hem varyans aynı sayıya, λ’ya eşittir — bu, dağılımın kendine has bir özelliği.

Poisson aslında tanıdık bir yerden geliyor: Binom dağılımının bir uç durumu.

# Poisson aslında Binom'un özel bir hâli: n çok büyük, p çok küçükken, n*p = lambda sabit
# kalırsa Binom(n, p) neredeyse Poisson(lambda) ile aynı sonucu verir.
n_buyuk = 10_000
p_kucuk = lam / n_buyuk  # n*p = lambda = 4 sabit kalsın

for k in [0, 2, 4, 6, 10]:
    binom_pmf = stats.binom.pmf(k, n_buyuk, p_kucuk)
    poisson_pmf = stats.poisson.pmf(k, lam)
    print(f"k={k:>2}  Binom(n={n_buyuk}, p={p_kucuk:.4f})={binom_pmf:.4f}   Poisson(λ={lam})={poisson_pmf:.4f}")

k= 0  Binom(n=10000, p=0.0004)=0.0183   Poisson(λ=4)=0.0183
k= 2  Binom(n=10000, p=0.0004)=0.1465   Poisson(λ=4)=0.1465
k= 4  Binom(n=10000, p=0.0004)=0.1954   Poisson(λ=4)=0.1954
k= 6  Binom(n=10000, p=0.0004)=0.1042   Poisson(λ=4)=0.1042
k=10  Binom(n=10000, p=0.0004)=0.0053   Poisson(λ=4)=0.0053

n = 10.000 deneme, p = 0.0004 gibi (çok deneme, çok küçük olasılık) bir Binom dağılımı, Poisson(λ=4) ile noktası noktasına aynı sonucu veriyor. Çoğu kişi Poisson’u Binom’dan tamamen ayrı bir formül sanır. Değil, çünkü Poisson, Binom’un “n sonsuza giderken, np sabit kalırken” aldığı limit halidir — müşteri gelişinde “n” (günün kaç anı olabilir) pratik olarak sonsuz, “p” (o anda müşteri gelme olasılığı) pratik olarak sıfıra yakın.

Matematik

Kod

İki pratik soruyu cevaplayalım: “hiç müşteri gelmeyen bir saat” ve “olağanüstü yoğun bir saat (8 ve üzeri)”:

# İki pratik soru: "bir saatte hiç müşteri gelmez mi?" ve "olağanüstü yoğun bir saat (8+) olur mu?"
p_sifir_musteri = stats.poisson.pmf(0, lam)
p_yogun_saat = 1 - stats.poisson.cdf(7, lam)  # 8 ve üzeri

print(f"P(bir saatte 0 müşteri)      = {p_sifir_musteri:.4f}")
print(f"P(bir saatte 8+ müşteri)     = {p_yogun_saat:.4f}")

P(bir saatte 0 müşteri)      = 0.0183
P(bir saatte 8+ müşteri)     = 0.0511

P(0 müşteri) = %1.83 — nadir ama imkansız değil. P(8+ müşteri) = %5.11 — yaklaşık her 20 saatte bir “yoğun saat” bekleyebilirsin.

Nerede işe yarar

Poisson, “sürekli zamanda rastgele, bağımsız olaylar” olduğu her yerde karşına çıkar:

• Web ve altyapı. Bir sunucuya saniyede gelen istek sayısı, bir web sitesine dakikada gelen ziyaretçi sayısı.
• Operasyon. Bir çağrı merkezine saatte gelen çağrı sayısı, bir hastanenin acil servisine gelen hasta sayısı.
• Kalite ve güvenilirlik. Bir üretim hattında günde kaç kusurlu ürün çıktığı, bir yazılımda ay içinde kaç kritik hata bildirildiği.

Bu 3 hatayı yaparsın:

1. Olay oranının zaman içinde sabit olduğunu varsaymak — kafeye öğle saatinde daha çok müşteri gelir, tek bir λ tüm günü temsil etmez.
2. Olayların gerçekten bağımsız olduğunu kontrol etmemek — bir kampanya sırasında gelen kalabalık, “bağımsız rastgele gelişler” varsayımını bozar.
3. λ’yı ortalama sanıp varyansı da aynı sanmayı unutmak — bu Poisson’a özgü bir özellik, başka dağılımlarda ortalama ve varyans farklı olabilir.

Kendini test et

Özet