Pareto

Kanca

10.000 oyunculu bir mobil oyunda uygulama içi harcamaları simüle ettik: en yüksek harcayan tek bir oyuncu 6185.98 TL harcamış, ama medyan sadece 7.92 TL. En çok harcayan %20’lik dilim, toplam gelirin %59.2’sini oluşturuyor. Bu “80/20 kuralı” dediğimiz şeyin ta kendisi — ama neden bu kadar sık, bu kadar farklı alanda karşımıza çıkıyor?

Sezgi

Log-normal’de gördüğümüz çarpıklık zaten “ortalama medyandan büyük” seviyesindeydi. Pareto bunu bir adım öteye taşır: kuyruk o kadar ağırdır ki, en uçtaki birkaç değer toplamın büyük bir kısmını oluşturabilir. Bir oyunda oyuncuların çoğu hiç veya az harcar, ama “balina” denen birkaç oyuncu devasa harcamalar yapar — ve bu birkaç kişi toplam gelirin yarısından fazlasını oluşturabilir.

Pareto dağılımı, bir alt sınırın (xm) üzerinde, büyük değerlerin küçük değerlere göre “yavaş sönen” bir olasılıkla devam ettiği durumları modeller. Bu yavaş sönme, Normal veya Log-normal’in kuyruğundan çok daha ağırdır.

α (şekil parametresi) küçüldükçe kuyruk daha da ağırlaşıyor — çok büyük değerlerin olasılığı Normal’de olduğu gibi hızla sıfıra inmiyor.

Mekanizma

Oyuncu harcamalarını simüle edelim: alt sınır xm=5 TL, kuyruk ağırlığı α=1.5.

# Bir mobil oyunda 10.000 oyuncunun uygulama içi harcamasını (TL) simüle edelim.
# En az xm=5 TL harcayan biri "harcama yapan" sayılıyor; çoğu az harcar, azı çok harcar.
xm, alpha = 5, 1.5  # xm: alt sınır, alpha: kuyruğun ağırlığı (küçük alpha = daha ağır kuyruk)
u = rng.random(10_000)
harcamalar = xm / (1 - u) ** (1 / alpha)  # ters CDF örneklemesi

print(f"Ortalama harcama: {harcamalar.mean():.2f} TL")
print(f"Medyan harcama:   {np.median(harcamalar):.2f} TL")
print(f"En yüksek harcama: {harcamalar.max():.2f} TL")
print(f"En düşük harcama:  {harcamalar.min():.2f} TL")

Ortalama harcama: 15.18 TL
Medyan harcama:   7.92 TL
En yüksek harcama: 6185.98 TL
En düşük harcama:  5.00 TL

Ortalama (15.18 TL), medyanın (7.92 TL) neredeyse iki katı — ve en yüksek harcama (6185.98 TL), medyanın 780 katı. Şimdi ünlü 80/20 kuralını doğrudan test edelim:

# Ünlü "80/20 kuralı": en çok harcayan oyuncuların küçük bir kısmı, toplam gelirin
# büyük kısmını oluşturur mu?
siralanmis = np.sort(harcamalar)[::-1]  # büyükten küçüğe
toplam = siralanmis.sum()

for yuzde in [1, 5, 10, 20]:
    n_ust = int(len(siralanmis) * yuzde / 100)
    pay = siralanmis[:n_ust].sum() / toplam
    print(f"En yüksek harcayan %{yuzde:>2}, toplam gelirin %{pay * 100:.1f}'ini oluşturuyor")

En yüksek harcayan % 1, toplam gelirin %22.6'ini oluşturuyor
En yüksek harcayan % 5, toplam gelirin %38.1'ini oluşturuyor
En yüksek harcayan %10, toplam gelirin %47.5'ini oluşturuyor
En yüksek harcayan %20, toplam gelirin %59.2'ini oluşturuyor

En yüksek harcayan %20, toplam gelirin %59.2’sini oluşturuyor — klasik “80/20”den biraz farklı ama aynı mantık: küçük bir azınlık, büyük bir çoğunluğu oluşturuyor. α’yı küçültürsen (kuyruk ağırlaşırsa) bu yoğunlaşma daha da keskinleşir.

Çoğu kişi “80/20 kuralı her zaman tam %80-%20 çıkar” sanır. Değil, çünkü bu sadece Pareto ailesindeki belirli bir α değeri için yaklaşık doğru bir gözlemdir — gerçek oran, verinin α parametresine göre değişir; önemli olan oran değil, yoğunlaşmanın var olması.

Matematik

Kod

dagilim = stats.pareto(b=alpha, scale=xm)

p_50den_fazla = 1 - dagilim.cdf(50)
p_10dan_fazla = 1 - dagilim.cdf(10)

print(f"\nP(harcama > 10 TL) = {p_10dan_fazla:.4f}")
print(f"P(harcama > 50 TL) = {p_50den_fazla:.4f}")

P(harcama > 10 TL) = 0.3536
P(harcama > 50 TL) = 0.0316

P(harcama > 10 TL) = %35.36, P(harcama > 50 TL) hâlâ %3.16 — Normal veya Log-normal’de bu kadar uzak bir değerin olasılığı çok daha hızlı sıfıra iner. Pareto’nun “kalın kuyruğu” tam olarak bunu ifade ediyor.

Nerede işe yarar

Pareto, “az sayıda büyük, çok sayıda küçük” yapısının olduğu her yerde karşına çıkar:

• Ürün ve gelir analitiği. Kullanıcı başına gelir (ARPU), “balina” oyuncular, en çok satan ürünlerin toplam satıştaki payı.
• Şehir ve ağ bilimi. Şehir nüfusları, web sitesi trafiği, sosyal ağlarda takipçi sayıları.
• Dil ve bilgi. Bir metindeki kelime frekansları (Zipf yasası, Pareto’nun yakın akrabası).

Bu 3 hatayı yaparsın:

1. Ağır kuyruklu veride ortalamayı “tipik değer” olarak kullanmak — birkaç uç değer ortalamayı anlamsız hâle getirebilir; medyan veya yüzdelik dilimler çok daha güvenilir.
2. Küçük bir örneklemden α’yı tahmin edip genellemek — kuyruk davranışı az sayıda uç gözlemle belirlendiği için tahmin çok değişken olabilir.
3. Her çarpık dağılımı Pareto sanmak — Log-normal de sağa çarpıktır ama kuyruğu Pareto kadar ağır değildir; log-log grafikte düz çizgi testiyle ayırt edilir.

Kendini test et

Özet