Olasılığın temelleri

Kanca

Bir zarı 6000 kez attık. 6 gelme oranı %16.72 çıktı — “teorik” değer olan 1/6 = %16.67’ye çok yakın ama tam eşit değil. Bu fark şans mı, hata mı? Ve “iki zardan en az biri 6 gelir” ile “iki zarın toplamı 7’dir” olaylarından en az biri gerçekleşme olasılığını nasıl hesaplarız?

Sezgi

Olasılık, “bir şeyin ne kadar sık olacağının” sayısal karşılığıdır: 0 (asla olmaz) ile 1 (her zaman olur) arasında bir sayı. Bir zarı sonsuz kez atabilseydin, 6 gelme oranı tam olarak 1/6’ya yaklaşırdı — buna büyük sayılar yasası deniyor. Sonlu sayıda deneyde (6000 atış gibi) her zaman küçük bir sapma olur, ama atış sayısı arttıkça bu sapma küçülür.

Olasılık, sonsuz tekrarda bir olayın görülme oranının yakınsadığı sayıdır — tek bir denemenin sonucu değil. Aşağıdaki grafikte bunu canlı görüyorsun: atış sayısı arttıkça deneysel oran, teorik 1/6 çizgisine yaklaşıyor.

Mekanizma

Somut sayılarla ilerleyelim. Önce tek zarı 6000 kez attık:

# Bir zarı 6000 kez at, her yüzün ne sıklıkla geldiğine bak.
atis_sayisi = 6000
zarlar = rng.integers(1, 7, size=atis_sayisi)  # 1..6 arası

for yuz in range(1, 7):
    deneysel = np.mean(zarlar == yuz)
    print(f"yüz={yuz}  deneysel olasılık={deneysel:.4f}  teorik=1/6={1/6:.4f}")

yüz=1  deneysel olasılık=0.1682  teorik=1/6=0.1667
yüz=2  deneysel olasılık=0.1688  teorik=1/6=0.1667
yüz=3  deneysel olasılık=0.1663  teorik=1/6=0.1667
yüz=4  deneysel olasılık=0.1655  teorik=1/6=0.1667
yüz=5  deneysel olasılık=0.1640  teorik=1/6=0.1667
yüz=6  deneysel olasılık=0.1672  teorik=1/6=0.1667

Her yüz yaklaşık %16.6-16.9 arasında çıktı — 1/6’ya (≈%16.67) hepsi yakın. Şimdi iki zarı birlikte atıp iki olay tanımlayalım:

• A: en az bir zar 6 gösterir.
• B: iki zarın toplamı 7’dir.

1. P(A)‘yı bul. 200.000 atışta A’nın gerçekleştiği oran %30.51 — teorik değer olan 11/36 ≈ %30.56’ya çok yakın.
2. P(B)‘yi bul. %16.70 — teorik 6/36 = %16.67.
3. P(A ve B)‘yi bul. İkisi birden gerçekleşiyor mu (örn. zar1=6, zar2=1 → hem A hem B)? %5.57 çıktı.
4. P(A veya B)‘yi hesapla. İki yol var: doğrudan saymak (%41.63) ya da formülü kullanmak: P(A) + P(B) − P(A ve B) = %41.63. İkisi birebir eşleşiyor.

# İki zar birlikte atılıyor. A: en az bir zar 6 gösterir. B: iki zarın toplamı 7.
n = 200_000
zar1 = rng.integers(1, 7, size=n)
zar2 = rng.integers(1, 7, size=n)

A = (zar1 == 6) | (zar2 == 6)
B = (zar1 + zar2) == 7

p_a = np.mean(A)
p_b = np.mean(B)
p_a_ve_b = np.mean(A & B)
p_a_veya_b_deneysel = np.mean(A | B)
p_a_veya_b_formul = p_a + p_b - p_a_ve_b

print(f"P(A) = P(en az bir 6)      = {p_a:.4f}   (teorik: {11/36:.4f})")
print(f"P(B) = P(toplam 7)         = {p_b:.4f}   (teorik: {6/36:.4f})")
print(f"P(A ve B)                  = {p_a_ve_b:.4f}")
print(f"P(A veya B) deneysel       = {p_a_veya_b_deneysel:.4f}")
print(f"P(A) + P(B) - P(A ve B)    = {p_a_veya_b_formul:.4f}")

P(A) = P(en az bir 6)      = 0.3051   (teorik: 0.3056)
P(B) = P(toplam 7)         = 0.1670   (teorik: 0.1667)
P(A ve B)                  = 0.0557
P(A veya B) deneysel       = 0.4163
P(A) + P(B) - P(A ve B)    = 0.4163

Çoğu kişi P(A veya B)‘yi hesaplarken P(A) + P(B)‘yi toplar ve durur. Değil, çünkü A ve B aynı anda gerçekleşebiliyorsa (kesişimleri boş değilse) bu ortak kısmı iki kere saymış olursun — bir kere de çıkarman gerekir.

Matematik

Kod

İki zarın sonuçları birbirini etkiler mi? “Zar1=6” bilgisi, “zar2=6” olasılığını değiştirir mi? Çarpma kuralıyla test edelim:

# İki zarın SONUÇLARI birbirinden bağımsız mı? P(ikisi de 6) ile P(zar1=6)*P(zar2=6) karşılaştır.
p_ikisi_de_6 = np.mean((zar1 == 6) & (zar2 == 6))
p_zar1_6 = np.mean(zar1 == 6)
p_zar2_6 = np.mean(zar2 == 6)

print(f"P(zar1=6 VE zar2=6) deneysel = {p_ikisi_de_6:.4f}")
print(f"P(zar1=6) * P(zar2=6)        = {p_zar1_6 * p_zar2_6:.4f}")
print("İkisi de ~1/36 = 0.0278 civarında — bağımsızlık doğrulandı.")

P(zar1=6 VE zar2=6) deneysel = 0.0275
P(zar1=6) * P(zar2=6)        = 0.0276
İkisi de ~1/36 = 0.0278 civarında — bağımsızlık doğrulandı.

P(zar1=6 ve zar2=6) = %2.75, P(zar1=6) × P(zar2=6) = %2.76 — neredeyse birebir aynı. Bu da fiziksel sezgimizi doğruluyor: bir zarın sonucu diğerini etkilemez, yani bağımsızdırlar.

Nerede işe yarar

Bu üç kavram (birleşim, kesişim, bağımsızlık) istatistiğin geri kalanının temelini oluşturur:

• A/B testleri. “Kullanıcı hem reklamı gördü hem satın aldı” gibi olaylar kesişim; “iki farklı kanaldan gelen kullanıcılar” bağımsızlık varsayımına dayanır.
• Risk hesapları. Sigorta ve kalite kontrolde “en az bir arıza olma olasılığı” doğrudan birleşim kuralıyla hesaplanır.
• Makine öğrenmesinde Naive Bayes. Özniteliklerin birbirinden bağımsız olduğu varsayımı üzerine kurulu — ileride bu dersle karşılaşacaksın.

Bu 3 hatayı yaparsın:

1. P(A veya B)‘yi hesaplarken kesişimi çıkarmayı unutmak — sonuç şişer.
2. Bağımsızlığı varsaymak, test etmeden kabul etmek — gerçek veride nadiren tam bağımsızlık vardır.
3. Az sayıda denemeden (“3 kere attım, 2’si 6 geldi, demek P(6)=%67”) genel bir olasılık çıkarmak — büyük sayılar yasası küçük örneklemde işlemez.

Kendini test et

Özet